Pembuktian 0!=1 dan 1!=1 dengan ! Notasi Faktorial

0!=1 Karena Memangnya?

Saya teringat dengan dosen saya dulu yang mengatakan bahwa pembuktian itu paling banyak nanti di semester 5, terutama pada matakuliah Struktur Aljabar atau Analisis Real.

Namun, untuk hal-hal semacam ini, penting untuk kita dapat melakukan pembuktiannya sehingga ketika ada yang bertanya, mengapa $0!=1$, $1!=1$, $0!=1!$, kita bisa mengemukakan alasan matematisnya, bukan menjawabnya dengan alasan klasik "karena memangnya" (senyum).

Dalam matematika salah satu kemampuan yang harus kita miliki adalah kemampuan membuktikan kebenaran suatu teorema atau rumus-rumus dalam matematika.

Bagi kalian yang ingin belajar bagaimana membuktikan dalam matematika, silahkan baca Cara Membuktikan dalam Matematika.

Kalau membuktikan $0!=1$ saja tak mampu, maka dipastikan kita gak akan mampu membuktikan yang lebih dari itu.

Untuk itu, pada kesempatan ini, kita akan membuktikan $0!=1$.

Untuk dapat membuktikannya, pertama kita harus tahu apa itu faktorial yang dinotasikan dengan (!).

Misalkan n bilangan asli maka $n!$ didefinisikan sebagai:

Contoh:

6!=6.5.4.3.2.1=720
5!=5.4.3.2.1=120
4!=4.3.2.1=24
3!=3.2.1=6
2!=2.1=2
1!=?
0!=?

Berdasarkan definisi bahwa $n! = n ( n - 1 )!$, untuk membuktikan $1!=1$ ambil $n=2$ maka:

$$\begin{align} n! &= n ( n - 1 )! \\ 2! &= 2 ( 2 - 1 )! \\ 2 . 1 &= 2 . 1! \\ 2 &= 2 . 1! \\ 2/2 &= 1! \\ 1 &= 1 ! \end{align} $$

(Terbukti bahwa 1! = 1)

Untuk membuktikan $0!=1$ ambil $n=1$ maka:

$$\begin{align} n! &= n ( n - 1 )! \\ 1! &= 1 ( 1 - 1 )! \\
1 &= 0! \end{align}$$

(Terbukti bahwa 0! = 1)

Untuk lebih jelasnya, Anda bisa menyaksikan video berikut ini!

Dengan demikian terbukti benar bahwa $ 0! = 1! =1$. Mudah bukan? Asalkan faham definisi dari faktorial itu seperti apa. Semoga bermanfaat!