Pembuktian Kesamaan Trigonometri sin x + sin y=2 sin 1/2(x+y) cos 1/2(x-y)

Kita akan membuktikan kesamaan Trigonometri $$\sin x+ \sin y=2 \sin \frac{1}{2} (x+y) \cos \frac{1}{2} (x-y)$$ dengan cara menyamakan satu ruas dengan ruas lainnya.

Ini hanya sebuah metode aljabar dalam menunjukkan suatu persamaan yaitu dengan cara menunjukkan ruas kiri sama dengan ruas kanan atau sebaliknya. Sebelum itu, simak ilustrasi berikut ini!

Ilustrasi:
$\sin 90°+ \sin 90° \\= 2 \sin \frac{1}{2} (90°+90°) \cos \frac{1}{2} (90°-90°)$
(i) Untuk ruas kiri:
$\sin 90° + \sin 90°=1+1=2$
(ii) Untuk ruas kanan:
$\begin{align} & 2 \sin \frac{1}{2} (90°+90°) \cos \frac{1}{2} (90°-90°) \\ &=2 \sin \frac{1}{2} (180°) \cos \frac{1}{2} (0°) \\ &=2 \sin 90° \cos 0° \\ &=2. 1 . 1 \\ &=2 \end{align} $

Ilustrasi di atas bukannlah bukti karena itu hanya sebagai contoh dan contoh bukannlah bukti.

Pembuktian Kesamaan Trigonometri
$\sin x+ \sin y=2 \sin \frac{1}{2} (x+y) \cos \frac{1}{2} (x-y)$
adalah sebagai berikut.

Misal: $x=a+b$ dan $y=a-b$
Maka:
$x+y=2a$ $\Rightarrow a= \frac{1}{2}(x+y)$
$x-y=2b$ $\Rightarrow b= \frac{1}{2}(x-y)$

Jadi
$\begin{align} & \sin x+ \sin y \\ &=2 \sin \frac{1}{2} (x+y) \cos \frac{1}{2} (x-y) \\ &=2 \sin a \cos b \\ & =2 . \frac{1}{2} . [\sin (a+b) + \sin (a-b) ] \\ &= \sin (a+b) \sin (a-b) \\ &= \sin x + \sin y \end{align} $
(TERBUKTI)

Catatan: Untuk pembuktian $\sin a \cos b= \frac{1}{2} [\sin (a+b) + \sin (a-b)]$, silahkan baca Di Sini.

Demikian untuk Pembuktian Kesamaan Trigonometri $\sin x+ \sin y=2 \sin \frac{1}{2} (x+y) \cos \frac{1}{2} (x-y).$ Semoga bermanfaat.